R语言在伽玛和对数正态分布假设下，通过广义线性模型评估和预测大额索赔

最近，一位客户要求我们撰写一份关于大额索赔估值预测的研究报告，包括一些图形和统计输出。

人们很自然地假设，不仅个人索赔频率可以用某些协变量来解释，而且个人成本也可以解释。

当然，考虑到

在多个协变量的情况下，应考虑使用适当的族对成本分布进行建模。以下

是我们将使用的数据集，

通常用于成本建模的族是伽马分布或逆高斯分布或对数正态分布（它不在指数族中单个etc成本，但可以假设成本的对数可以用高斯分布建模）。 这里只考虑一个协变量，例如汽车的年龄，以及两个不同的模型：Gamma 模型和对数正态模型。

> age=0:20
> reggamma.sp <- glm(cout~agevehi,family=Gamma(link="log"),

+ data=couts)
> Pgamma <- predict(reggamma.sp,newdata=data.frame(agevehi=age),type="response")

对于 Gamma 回归，它是一个简单的 GLM，所以并不难。 对于对数正态分布，应该记住对数正态分布的期望值不是基础高斯分布的指数。 应该进行更正以获得平均成本的无偏估计，

我们可以在一张图上绘制这两个预测，

> plot(age,Pgamma,xlab="",ylab="",col="red",type="b",pch=4)
> lines(age,Pln,col="blue",type="b")

也可以使用样条曲线，因为年龄在这里不可能以乘法方式出现

在这里，两个模型非常接近。 但是，Gamma 模型可能对大额索赔非常敏感。 另一方面，通过对数正态模型的对数变换，可以看出该模型对大额索赔不太敏感。 事实上，如果我使用完整的数据集，回归如下：

也就是说，具有对数正态分布的平均成本随着汽车年龄的增加而降低，并随着 Gamma 模型的增加而增加。

> couts[which.max(couts$cout),]
         cout exposition zone puis agevehi ageconduct
7842  4024601       0.22    B         9          13            19
     marque carbur densi region
7842      2         E      93     24

一名年轻司机驾驶一辆 13 年车龄的汽车索赔 400 万美元。 这是 Gamma 回归的异常值，显然会影响估计值（如果只是第二大的话，也是第二大）。 由于大额索赔对平均成本的估计有重大影响，自然的想法可能是删除这些大额索赔。 或者也许将它们视为与正常索赔不同：正常索赔可以用一些协变量来解释，但也许这些大额索赔不仅应该在他们自己的类别中共享，而且应该在投资组合中的所有被保险人之间共享。为了将这个想法形式化，我们可以写

蓝色部分与正常大小的索赔相关联，而大部分对应于红色部分。 然后，可以进行三种回归：一种用于正常大小的索赔，一种用于大额索赔单个etc成本，一种用于大额索赔的指标（假设索赔发生）。超过 10,000 美元的大额索赔

> s= 10000
> couts$normal=(couts$cout<=s)
> mean(couts$normal)
[1] 0.9818087

我们数据集中 2% 的索赔。 我们可以进行 3 组回归，并根据车龄进行平滑回归。 第一个模拟大额索赔的个人成本的模型，

> ypB=predict(regB,newdata=data.frame(agevehicule=age),type="response")

> ypB2=mean(couts$cout[indice])

第二种模式通常要求个人成本，

> ypA=predict(regA,newdata=data.frame(agevehicule=age),type="response")
> ypA2=mean(couts$cout[indice])

最后，假设已经发生索赔，则提出第三种索赔可能性

> ypC=predict(regC,newdata=data.frame(agevehicule=age),type="response")
> ypC2=predict(regC2,newdata=data.frame(agevehicule=age),type="response")

在下图中，我们绘制

在这里，伽马回归（包括样条）被认为是成本平均，而逻辑回归（也包括样条）被认为是对概率建模。

应进行调整以获得足够的保费水平。这是

更进一步，还可以假设不仅索赔的规模（假设索赔很大）不是任何协变量的函数，而且拥有极大索赔的可能性也不是。

从第一部分，我们看到考虑的分布对预测有影响，在第二部分，我们看到大额索赔的定义（以及如何处理）也有影响。 显然，精算师在利率评估方面有一定的影响力。